Problemas de formulas exponenciales de derivación

Veremos problemas resueltos de formulas exponenciales para derivar. Igual que las formulas logarítmicas vistas antes, algunas veces se pueden sustituir directo, otras veces deben ser convertidas para derivar, y otras veces se usan formulas alternas para acomodar y después derivar. Las que veremos son 2.

Donde la “a” es una constante arbitraria, y la e equivale a 2.71 pero estos son otros temas, nos enfocaremos a realizar problemas con estas 2 formulas.

Problema 1. Y = Z^2Y

Paso1:  Se identifica la formula a usar
Paso2: Se sustituye directo
Paso3: Se desarrolla la derivada de 2Y
Paso4: El resultado (2) se multiplica por Z^2Y

Problema 2. Y = e^X2

Paso1: Se identifica la formula a usar
Paso2: Se sustituye directo
Paso3: Se desarrolla la derivada X²
Paso4: El resultado (2x) se multiplica por e^X2

Problema 3.

Paso1: Como es división, tendremos que convertirla en ecuación lineal, para esto subimos el e^X cambiando signo, es decir, convirtiendo el +x a -x
Paso2: Se aplica la formula directo
Paso3: Se deriva el (-x) obteniendo -1
Paso4: Se multiplica (-1)(2e^-X) y queda el resultado
Paso5: Como el exponente –X no debe quedar negativo, debemos convertir el resultado alterando el signo, y ahora 3^-X tiende a bajarse convirtiéndose en división con signo negativo del -2

Dudas, alcaraciones, por mensajes  (:

Ejercicios de formulas logaritmicas de derivación Ln(V)

Acá veremos la formula Ln (Logaritmo Natural). Recordemos que cuando tengamos la formula, debemos acomodarla para su derivación, no siempre se sustituye igual.

Donde la derivada de Logaritmo natural del producto V es; La derivada del producto V entre el producto V. Enseguida los ejemplos.

Ejemplo 1.
Acá aplicamos la formula directamente, pues solo es 1 producto (Producto V)

En el primer paso se sustituyo el producto V, y se derivo la parte de arriba.
En el segundo paso, solo quedo el resultado

Ejemplo 2.
Como tenemos un producto V en forma de raíz cuadrada, éste debe ser convertido por medio de las propiedades de los logaritmos, para eso usamos la cuarta propiedad Propiedad de ^N√Y = LogP = 1/N * LogY

Paso1. Se aplica la propiedad (Prop ^N√Y = LogP = 1/N * LogY)
Paso2. Se acomoda, y se deriva el producto V de arriba
Paso3. Ya derivado, se forman 2 productos de multiplicación directa
Paso4. Se acomodan, y se multiplican
Paso5. Del resultado, tiende a simplificarse en su minima expresión

Ejemplo 3
Tenemos otro problema que no puede ser sustituido directo, tendremos que usar otra propiedad, usamos la 3er propiedad Propiedad de X^N = LogP = N * LogX

Paso1. Se aplica la propiedad X^N = LogP = N * LogX
Paso2. Se acomoda, y se deriva el producto V(X en este caso)
Paso3. Del resultado, se multiplica directo
Paso4. Queda el resultado sin simplificación

Propiedades de los logaritmos, formulas logaritmicas y formulas exponenciales de derivación

Dejando atrás las funciones de derivación, nos metemos a las que usan exponente al cual se debe elevar la base para obtener el numero.

Las formulas logarítmicas de derivación tienen propiedades que hacen fácil el problema a resolver y un mejor entendimiento. Las propiedades de los logaritmos de derivación son:

Propiedad de A * B = LogP = LogA + LogB
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores

Propiedad de A/B = LogP = LogA – LogB
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor

Propiedad de X^N = LogP = N * LogX
El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base

Propiedad de ^N√Y = LogP = 1/N * LogY
El logaritmo de una raiz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el indice de la raiz

Con estas 4 propiedades se trabajaran los problemas con facilidad, es decir, se simplificaran para un desarrolo más lógico. Las formulas logaritmicas de derivación que usaremos serán solo 2 que son de logaritmo natural y logaritmo vulgar o de base.

Logaritmo natural =

Logaritmo de base =

Terminando las formulas logarítmicas de derivación, comenzaremos a usar las formulas exponenciales que son 2.

a^V = a^V * Lna * d(V)

e^V = e^V * d(V)

Y para terminar, trabajaremos en una formula donde se relacionan formulas de exponenciación, formulas de logaritmos y formulas de derivación vistas anteriormente. Este será el formulario que seguiremos junto con las otras formulas anteriores.

Un problema de razones de cambio relacionadas

A los que algún día se preguntaron: “¿Pero para qué carajo sirven las derivadas?”, aquí hay una importante aplicación de ellas: En los problemas en que intervienen razones de cambio respecto al tiempo de distintas variables que están relacionadas.

EJEMPLO:

Se bombea aire hacia el interior de un globo esférico, de modo que su volumen aumenta a razón de 100 centímetros cúbicos por segundo. ¿Con qué rapidez crece el radio del globo cuando el diámetro es de 50 cm?

Para solucionarlo:

1. Miramos las variables que intervienen. En éste caso, serían el volumen del globo y su radio, que cambian con respecto a un tiempo t.

2. Miramos la información que nos dan, en éste caso sería la razón a la que cambia el volumen respecto al tiempo:

3. Miramos las incógnitas, en éste caso, sería la razón con la que aumenta el radio del globo:

4. Hallamos una fórmula que relacione las variables, en éste problema, usaremos la fórmula del volumen de la esfera:

Ahora, procedemos a derivar implícitamente con respecto al tiempo.

Reemplazamos la información dada, y despejamos la derivada del radio con respecto al tiempo:

Así es entonces, cuando llegamos a la conclusión de que el radio del globo está creciendo a razón de 0,013 cm/sg.

Dudas? Algún día me posteo más problemas, cuando ya salga de exámenes… me tienen entre la espada y la pared hasta entonces.

Introducción a la diferenciación implícita

Antes que todo, le agradezco a Raphael por darme la oportunidad de postear aquí, y de paso, repasar algo de lo aprendido en mi facultad.

Ahora bien, entrando al tema de la diferenciación implícita, aquí les dejo unos pasos básicos y simples para derivar correctamente:

Algunas funciones, se definen en forma implícita, por medio de una ecuación en la cual la variable y no está despejada. En ésta clase de funciones, para calcular la derivada de y con respecto a x, se utiliza la diferenciación implícita.

Por ejemplo, calculemos la derivada de y con respecto a x de ésta función:

-Entonces:

1. Derivamos con respecto a x en ambos lados de la función:

2. Derivamos, recordando que y depende de x, entonces, siempre hay derivada interna:

3. Ahora, despejemos la derivada de y con respecto a x, o también llamada y’. Aquí podemos aplicar factor común:

Y ya está listo el problema. Ahora, aquí les dejo éstos dos sencillos ejemplos de diferenciación (o derivación) implícita, espero que los entiendan. Sólo es cuestión de aplicar las fórmulas que puso Locoraphael en posts anteriores acerca de cómo derivar productos y cocientes, y los pasos que puse aquí anteriormente.

Ahora éste:

Dudas?

Ejercicios de derivadas [Resueltos] de la cuarta formula

Problemas de derivadas resueltos de la cuarta formula vista en clase. En esta ocasión es el producto de dos funciones pero en forma de división.

La formula es:

“El producto de la 2da función por la derivada de la 1er función menos el producto de la 1er función por la derivada de la 2da función. Todo dividido por la 2da función elevada al cuadrado”

Tomemos el primer ejercicio:

Se acomoda la ecuación de acuerdo a la formula:

Se deriva lo que la formula dicta:

Se elimina la exponenciación de abajo y la que esta multiplicando por orden algebraico:

Como tenemos una exponenciación negativa, se pasa dividiendo y el signo (-) multiplica al (-) de la formula de derivación, y se realiza un producto cruzado:

20 Problemas resueltos de Calculo Diferencial

Una disculpa a mi auditorio. Sé que no he posteado nada sobre la escuela, pero estoy sumamente atareado y no puedo dedicarle un poco de tiempo al blog hasta que empiezen las vacaciones de semana santa.

Ahora acá traigo los 20 problemas de Calculo Diferencial resueltos, estan en formato .rar para que los copien/estudien/comparen y tengan un mejor entendimiento sobre el examen de mañana. Me he brincado algunos pasos en los ejercicios (algunos) para mayor fluidez y publicación. Aprovechenlos.

Dudas, comentarios, por via MSN o por este sitio web.

Ejercicios de derivadas tercera formula [Problemas resueltos]

Formula del producto de dos funciones [Ejercicios de derivadas resueltos]

Esta ocasión veremos la siguiente formula vista en clase por el profesor Lerma.

d(U)(V) = U*d(V) + V*d(U)

“El producto de la primera función por la derivada de la segunda función; mas el producto de la segunda función por la primera” Ahora veremos ejemplos.

Ejercicio 1
Y = x √a2+x2

Se convierte la formula en multiplicación

En el segundo paso, la fracción pasa de raíz cuadrada a multiplicando. En el paso 3 se aplica la formula. Paso 4 como nos piden derivar un binomio, aplicamos la formula vista en el tema anterior. Paso 6 se obtienen divisiones de productos y se realiza por productos cruzados. Paso 8 después del producto cruzado se realizan operaciones algebraicas y se eliminan (sumas, restas) semejantes hasta quedar en su mínima expresión visto en el paso 10.

Ejercicio 2

Dudas, aclaraciones, déjalas en los comentarios.

Ejercicios de derivadas [Problemas resueltos] segunda formula

Se aplicará esta formula para los siguientes ejercicios resueltos.

Donde la V representa un binomio con exponenciación. Si el binomio tiene exponenciación se aplicará esta formula que es especial para resolverlo. Acá varios ejemplos.

Problema 1

Primero la raíz cuadrada debe convertirse en binomio para poder aplicar la formula. Enseguida se aplica la formula y finalmente al resultado se pone en su mínima expresión, es decir, se simplifica.

Problema 2

Se aplica la formula directamente, solo que en la segunda derivada la constante (a) se elimina por acuerdo oficial algebraico, restando solo el x^-2.

Ejercicios de Derivadas [Resueltos] Primer formula

La derivada es una función que cambia a medida que su entrada va cambiando. Es decir, se simplifica una ecuación con cierta jerarquía y orden y apoyándose en formulas. Hay que saber algunas formulas inmediatas para desarrollar mas rápido las que veremos mas adelante.

La derivada de una Constante es siempre CERO

La derivada de una variable (x, y, z) siempre será 1 dependiendo del signo con que esté la variable

La derivada de una constante por una variable será constante mientras no tenga exponenciación

Primer formula de derivación de funciones
d(xⁿ) = nx^n-1

Problema 1

(Función simplificada)

(Función derivada)

(Función derivada simplificada)
Acá primero se convirtió la ecuación principal de raíz cuadrada pasaron multiplicando y exponenciales cambiados de abajo hacia arriba con signo negativo despues se aplicó la formula.

Problema 2
Y = √x
Y = (x)½  (Función simplificada)
d/Y = ½(X)½-1
d/Y = ½(X)-½  (Función derivada)

(Función derivada simplificada)
Acá primero despejamos la raíz cuadrada pasándola multiplicando por su equivalente (½) y aplicamos la formula. Al resultado nos sale signo negativo en el exponente. Como esta multiplicando pasa dividiendo solamente cambiándolo abajo con signo positivo y se simplifica.