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Archive for 30 octubre 2009

Hallar la ecuación de la Circunferencia [Ejercicios]

octubre 30, 2009 10 comentarios

Seguimos por lo visto en clase aun, con la ecuación de la circunferencia.

Problema 1. Hallar la ecuación de la circunferencia que sea tangente a los 2 ejes de coordenadas de Radio = 8 y cuyo centro este en el primer cuadrante. Hacer la grafica.
Se entiende que la tangente a los 2 ejes (X o Y) queda en el Primer Cuadrante cuyo Radio = 8. Solo se agarra el eje X y se mide 8, el eje Y también midiendo 8, se juntan y forman el Pc (8 , 8). De allí se hace la circunferencia.

Circulo del primer cuadrante r8

(X – h)2 +  (Y – K)2 =  r2

Ecuación Cartesiana.
(X – h)2 +  (Y – K)2 =  r2
(X – 8)2 +  (Y – 8)2 =  82
(X – 8)2 +  (Y – 8)2 =  64

Ecuación General.
(X – h)2 +  (Y – K)2 =  r2
(X – 8)2 +  (Y – 8)2 =  64
Recordemos que para eliminar estos 2 binomios, se despeja.
X2 +  2(X)(-8)  +  (-8)2 +  Y2 +  2(Y)(-8)  +  (-8)2 =  64
X2 –  16X  +  64  +  Y2 –  16Y  +  64  =  64
X2 –  16X  +  64  +  Y2 –  16Y  +  64  –  64  =  0
X2 +  Y2 –  16X  –  16Y  +  64  =  0

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Categorías:Calculo

Ecuación de la Circunferencia [Ejemplos]

octubre 29, 2009 30 comentarios

Seguimos con ecuaciones de  circunferencias pero ahora dados 1 punto, o tangentes, sin radios, lo restante debemos sacarlo. Empiezo con el primer problema de 3.

Diámetro y segmento que une los puntos (-3 , 5) y (7 , -3).

Primero, hacemos la grafica con los 2 puntos. De esos 2 puntos como son diámetros, con una regla trazamos de punto a punto y nos dará exacto 13cm de Diámetro. Nosotros queremos el radio, entonces de 13 será 6.5cm de Radio (la mitad).Ahora la grafica.
Circunferencia 13cm, radio 6.5cm

Ahora, la ecuación de la circunferencia:
(X – h)2 +  (Y – K)2 =  r2

Sacamos la Ecuación Cartesiana. Solo agarramos el Pc y lo sustituimos. Lo único que hay que convertir es el radio elevado al cuadrado.
(X – h)2 +  (Y – K)2 =  r2
(X – 2)2 +  (Y – 1)2 =  6.52
(X – 2)2 +  (Y – 1)2 = 42.25

Sacamos sustitución de circunferencia. Es decir, tomamos cualquiera de los 2 puntos de la circunferencia y lo sustituimos en la X y Y, para h y k tomamos Pc.
P(-3 , 5)  y  Pc(2 , 1)
(X – h)2 +  (Y – K)2 =  r2
(-3 – 2)2 +  (5 – 1)2 =  r2
(-5) 2 +  (4)2 =  r2
25  + 16  =  r2
41  =  r2
r  =  √41
r  =  6.5

Sacamos la ecuación general. Es la más importante de las 3, y el resultado que piden en exámenes y en tareas. Acá solo agarraremos el Pc(2 , 1)
(X – h)2 +  (Y – K)2 =  r2
(X – 2)2 +  (Y – 1)2 =  6.52
(X – 2)2 +  (Y – 1)2 =  42.25

Ahora, como lo describí en el tema anterior, se debe usar algebra para quitar los 2 binomios que se nos muestran, y la ecuación convertirla a cero.
(X – 2)2 +  (Y – 1)2 =  42.25
X2 +  2(X)(-2)  +  (-2)2 +  Y2 +  2(Y)(-1)  +  (-1)2 =  42.25
X2 –  4X  +  4  +  Y2 –  2Y  +  1  =  42.25

Se agrupan de mayor a menos, empezando por coeficientes.
X2 +  Y2 –  4X  –  2Y  +  4  +  1  –  42.25  =  0
X2 +  Y2 –  4X  –  2Y  –  37.25  =  0

Y esta es la solución definitiva. Enseguida vienen los otros 2 razonados. Leer más…

Categorías:Calculo

Método de Oxidación y Reducción [Quimica]

octubre 28, 2009 36 comentarios

Oxidación: La oxidación de un elemento se produce siempre que el número de valencia es aumentado positivamente, esto a consecuencia de perder electrones. Ejemplo:
Fe0 O0 —>  Fe2 O-2
Acá tanto el Hierro(Fe) como el Oxigeno(O) tienen de subíndice 1 pero como en Química y en Matemáticas cuando no hay subíndice marcado entonces quiere decir que tiene 1 imaginativo.
Fe2(1) = 2
O-2(1) = -2
Resultado;  Fe O = 0. El elemento ha sido Igualado. El elemento esta oxidándose.

Reducción: La reducción de un elemento se produce siempre que el número de valencia es aumentado negativamente, esto a consecuencia de ganar electrones. Ejemplo:
O0 à  O-2
Como el Oxigeno tiene subíndice 1 y esta pasando a sumar electrones (2) entonces se pasa negativo y el elemento se esta Reduciendo.

Ahora pasemos a los problemas.

Para saber el método de Oxidación y Reducción, se debe tener en cuenta 4 pasos.

Ejemplo:
Cu + HNO3 Cu(NO3)2 + H2O + NO

Paso 1. Se identifica cual elemento se reduce y cual se oxida. Multiplicar subíndice del elemento por una valencia del elemento (la que quieras, de preferencia la más chica) de modo que quede a cero.
Cu mas HNO

Paso 2. Se escriben las reacciones parciales de oxidación y reducción anotando cuantos electrones se absorben o se desprenden. Son 2 elementos de la izquierda, se toma el que esta a cero y el más grande, y se compara con el de la derecha.
Cu0 —-  Cu+2 =  -2e Del 0 al 2 pasa por 2 puntos positivos, quiere decir que esta Oxidando y se expresa con signo negativo.
N+5 —-  N+2 =  +3e Del 5 al 2 pasa por 3 puntos negativos, quiere decir que esta reduciendo y se expresa con signo positivo. Leer más…

Categorías:Quimica

Ecuación de la Circunferencia

octubre 26, 2009 5 comentarios

La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan (tienen misma distancia) de un punto llamado Centro. Para sacar una Circunferencia, basta con 2 datos, que es el Punto y el Radio.

C (3 , -1) y Radio = 5. Graficamos el circulo:
C (3 , -1) y Radio = 5
Ahora que graficamos, pasamos a las ecuaciones, la ecuación de la circunferencia es:
(X – h)2 + (Y – K)2 = r
2
Donde h equivale a X y K equivale a Y. sustituyendo queda:
(X – 3)2 + (Y + 1)2 = 52
(X – 3)2 + (Y + 1)2 = 25
Ecuación cartesiana de la circunferencia.

Para saber la Ecuación Gral. de la circunferencia, sustituimos la h y la K en la formula de la circunferencia, y se forman 2 binomios, debemos despejar tal cual lo hacemos en álgebra.
(X – h)2 + (Y – K)2 = r2
(X – 3)2 + (Y +1)2 = 52
(x – 3)2 + (Y + 1)2 = 25
X2 + 2(X)(-3) + (3)2 + Y2 + 2(Y)(1)  + (1)2 = 25
X2 – 6X + 9 + Y2 + 2Y + 1 – 25 = 0

Se igualo a cero, y se procede a acomodarlos de mayor a menor.
X2 + Y2 – 6X + 2Y +9 + 1 – 25 = 0
X2 + Y2 – 6X + 2Y -15 = 0
Y así obtenemos la ecuación general de la circunferencia.

Acá les dejo otro ejemplo, por si quieren comparar. C (0 , 5), R = 5 Leer más…

Categorías:Calculo

Ecuación de las Alturas del Triangulo y comprobación del Ortocentro

octubre 26, 2009 45 comentarios

Hoy  veré como hallar las ecuaciones de las alturas del triángulo y su ortocentro cuyos lados nos dan son:
A (-5 , 6), B (-1 , -4) y C (3 , 2). Lo primero que haremos será graficar el triángulo, que ya acabado debe quedar así;

Ortocentro, Alturas y Circuncentro de un Triangulo

Ortocentro, Alturas y Circuncentro de un Triangulo

Ya que tengamos el triángulo, para sacar la altura primero es determinar su pendiente al lado opuesto de su vértice. Su vértice es C(3,2). Entonces se van a tomar los puntos A y B. La formula para sacar la pendiente es:
Formula de la Pendiente

que sustituida quedaría:
Pendiente Inv 2 5

Segundo, es sustituir en la ecuación Punto-Pendiente. La ecuación recordemos que es:
Y – Y1 = M (X – X1), cuando tenemos de M1 = 2/5 y Vértice C(3 , 2)
Y – 2 = 2/5 (X – 3)
5[Y – 2] = 2 (X – 3)
5Y -10 = 2X – 6
6 – 10 = 2X – 5Y
2X – 5Y = -4
Que igualada a cero quedaría 2X – 5Y + 4 = 0

Ahora ya tenemos la ecuación de la pendiente y la altura reciproca, pero nos falta saber el punto medio del cual partiremos el angulo de 90° sobre su línea base. Entonces haremos los PM.
Formula para sacar puntos medios
De la cual, tomamos los 2 puntos opuestos a su vértice, que son los puntos A y B. Sustituida queda:
PMab vs VerticeC
Ahora, ya que tenemos el PM lo ubicamos, después, recorremos la escuadra por el lado AB hasta topar con el punto (-3,1), y hacemos el trazo de manera que quede la línea derecha, trazando 90°.
La grafica debe quedar así;
Pendiente Inversa 2/5Donde la Altura M1=2/5, PMAB = (-3,1)
Esto es solo para sacar la altura de un lado. Me dispondré a sacar los restantes 2 con sus respectivas Alturas y Puntos Medios. Al final del tema, viene la comprobación para sacar el Ortocentro que como ya saben, se escogen 2 de las 3 ecuaciones Punto-Pendiente Inversas que sacamos del triangulo, además la grafica completa con su Ortocentro y Alturas. Continúo… Leer más…

Categorías:Calculo

Ecuaciones de las Mediatrices, Circuncentro y Punto-Pendiente

octubre 24, 2009 41 comentarios

Como lo visto en clase, las mediatrices son las rectas perpendiculares trazadas por los puntos medios de sus lados. Las rectas se unen por un punto llamado circuncentro que es el corte de las tres perpendiculares de las mediatrices. Ahora resolveremos un problema visto en clase.

Los puntos que nos dan son los siguientes: A(-5 , 6),   B(-1 , -4),    C(3 , 2).

Hay que hallar las ecuaciones de las mediatrices, el circuncentro y puntos medios de los lados. Yo ya hice la grafica con todo y sus lados, use WinPlot y ya viene como les debe quedar pero primero vamos con las ecuaciones.

Circuncentro de un triangulo con sus puntos medios y Punto-Pendiente.

Circuncentro de un triangulo con sus puntos medios y Punto-Pendiente.

Iniciando es sacar puntos medios de cada lado del triángulo, empiezo con lado AC

A(-5 , 6),  C(3 , 2)

La formula para sacar los puntos medios es:
Formula para sacar puntos medios

Sustituyendo quedaría:
Punto medio AC y así tendríamos el PMAC(-1 , 4)

Ahora ya teniendo el Punto Medio, hay que sacar la Pendiente con la formula:

pendiente-formula
Y sustituir los valores de A y C en la misma, quedaría así:

Pendiente AC

Al resultado de la pendiente se saca su recíproca, que sería   M1 = 2/1

Ya que tenemos la M1 y el PMAC, nos disponemos a sustituir en la Formula Punto – Pendiente, la cual es como vimos anteriormente;
Y – Y1 = M (X – X1) y quedaría la sustitución así:
Y – Y1 = M (X – X1) cuando M1 = 2/1, PMAC (-1 , 4)
Y – 4 = 2/1 (X – [-1])
1(Y – 4) = 2 (X + 1)
Y – 4 = 2X + 2
2X – Y = 2 + 4
2X – Y = 6
o igualada a cero quedaría; 2X – Y – 6 = 0

Como ven , es una tarea algo tediosa y hay que tener en cuenta los signos muy presentes, pues el mínimo error ocasiona mal las ecuaciones. Ya saque el lado AC, ahora, me dispondré a hacerlo con los lados AB y BC, la grafica arriba. Leer más…

Categorías:Calculo

Como determinar la ecuación de la recta

octubre 22, 2009 5 comentarios

Como todos sabemos, la recta es la línea que pasa por la el punto X o Y, contienen infinitos números y solo posee una dimensión. Ahora, hay rectas que pasan parejas al punto X, Y o pasan por los dos puntos. En esta ocasión les mostrare como pasa una recta por puntos X, Y para que sea de fácil entendimiento y no como los artículos que vienen en Internet ;)

Primero es Identificar lo que te pide el problema, en este caso “determinar la pendiente” con los puntos:  A(3 , -2) y B(-2 , 7).

Como todos sabemos, para determinar la PENDIENTE la formula es:

pendiente-formula

Agarraremos  A como punto inicial, del A la X1 es 3, y Y1 es -2. Y punto final a B donde -2 es X2 y 7 es Y2. Entonces sustituida quedaría así:

Pendiente1 ahora respetando los signos queda: pendiente2

Ya sustituyendo correctamente ya tenemos la PENDIENTE!!, lo que sigue es graficar:

Recta con puntos X y Y

Recta con puntos X y Y

Ya que la gráfica quedo al pedo. El tercer paso es sustituir en la ecuación Punto – Pendiente. Esto lo haremos con los puntos y la pendiente que nos salió -9/5

La formula del Punto – Pendiente es: Y – Y1 = M (X – X1), recuerden que la M = -9/5 y los puntos X1 y Y1 los agarraremos de cualquier punto, ya sea del punto A o del punto B, al final sale el mismo resultado. Acá agarrare el punto A(3 , -2). Ahora resta sustituir y quedaría así. Leer más…

Categorías:Calculo