Inicio > Calculo > Ecuación de las Alturas del Triangulo y comprobación del Ortocentro

Ecuación de las Alturas del Triangulo y comprobación del Ortocentro

Hoy  veré como hallar las ecuaciones de las alturas del triángulo y su ortocentro cuyos lados nos dan son:
A (-5 , 6), B (-1 , -4) y C (3 , 2). Lo primero que haremos será graficar el triángulo, que ya acabado debe quedar así;

Ortocentro, Alturas y Circuncentro de un Triangulo

Ortocentro, Alturas y Circuncentro de un Triangulo

Ya que tengamos el triángulo, para sacar la altura primero es determinar su pendiente al lado opuesto de su vértice. Su vértice es C(3,2). Entonces se van a tomar los puntos A y B. La formula para sacar la pendiente es:
Formula de la Pendiente

que sustituida quedaría:
Pendiente Inv 2 5

Segundo, es sustituir en la ecuación Punto-Pendiente. La ecuación recordemos que es:
Y – Y1 = M (X – X1), cuando tenemos de M1 = 2/5 y Vértice C(3 , 2)
Y – 2 = 2/5 (X – 3)
5[Y – 2] = 2 (X – 3)
5Y -10 = 2X – 6
6 – 10 = 2X – 5Y
2X – 5Y = -4
Que igualada a cero quedaría 2X – 5Y + 4 = 0

Ahora ya tenemos la ecuación de la pendiente y la altura reciproca, pero nos falta saber el punto medio del cual partiremos el angulo de 90° sobre su línea base. Entonces haremos los PM.
Formula para sacar puntos medios
De la cual, tomamos los 2 puntos opuestos a su vértice, que son los puntos A y B. Sustituida queda:
PMab vs VerticeC
Ahora, ya que tenemos el PM lo ubicamos, después, recorremos la escuadra por el lado AB hasta topar con el punto (-3,1), y hacemos el trazo de manera que quede la línea derecha, trazando 90°.
La grafica debe quedar así;
Pendiente Inversa 2/5Donde la Altura M1=2/5, PMAB = (-3,1)
Esto es solo para sacar la altura de un lado. Me dispondré a sacar los restantes 2 con sus respectivas Alturas y Puntos Medios. Al final del tema, viene la comprobación para sacar el Ortocentro que como ya saben, se escogen 2 de las 3 ecuaciones Punto-Pendiente Inversas que sacamos del triangulo, además la grafica completa con su Ortocentro y Alturas. Continúo…

Vértice A(-5,6). Sacaré Pendiente Inversa de BC
MBC = 2 + 4/3 + 1 = 6/4 = 3 / 2.    Y su reciproca es: M1 = -2/3
Y – Y1 = M (X – X1)
Y – 6 = -2/3 (X + 5)
3[Y – 6] = -2 (X + 5)
3Y – 18 = -2X -10
3Y + 2X = -10 + 18
3Y + 2X = 8
Que igualado a cero queda; 2X + 3Y – 8 = 0
PMBC =  X =-1 + 3/2 = 2/2 = 1,   Y = -4 + 2/2 = -2/2 =-1   PMBC(1 , -1)

Vértice B(-1 , -4). Sacare Pendiente Inversa de AC
MCA = 6 – 2/-5 – 3 = 4/-8 = -2/4. Y su reciproca es: M1 = 4/2
Y – Y1 = M (X – X1)
Y + 4 = 4/2 (X + 1)
2[Y + 4] = 4 (X + 1)
2Y + 8 = 4X + 4
-4 + 8 = 4X – 2Y
4 = 4X – 2Y
Que igualado a cero queda; 4X – 2Y – 4 = 0
PMAC =  X = -5 + 3/2 = -2/2 = -1,   Y = 6 + 2/2 = 8/2 = 4   PMAC(-1 , 4)

Ya que tenemos las 3 alturas (las alturas son las Pendientes Reciprocas) con sus Puntos Medios la grafica les debe quedar exactamente igual a esta.
Alturas de los 3 lados del triangulo

Ahora, para saber o sacar el Ortocentro basta con escoger 2 de las 3 formulas Punto-Pendiente Inversa que obtuvimos. Las que tenemos son:
Del Vértice A es;  2X + 3Y = 8
Del Vértice B es;  4X – 2Y = 4
Del Vértice C es;  2X – 5Y = -4
Del cual yo voy a escoger 2, los que me parezcan mas sencillos. Agarrare del Vértice C y del Vértice B por ser mas sencillas de eliminar. Pero puedo sacarle mitad al Vértice B pues sus números son pares, y se pueden dividir y quedar sin decimales. Entonces;
4X – 2Y = 4/2 = 2X – Y = 2. Ya que lo simplifique agarro C y B y hago la suma.
2X – 5Y = -4
2X – Y = 2

Y quiero despejar X entonces elimino las Y multiplicándolas por su numero arriba-abajo, tal cual lo pongo acá.
[2X – 5Y = -4] 1
[ 2X – Y = 2 ] -5
2X – 5Y = -4
-10X + 5Y = -10
Se eliminan exponentes iguales con signos opuestos.
-8X          = -14
X    = -14/-8    =  14/8    =  7/4

Se escoge una ecuación para sustituir la X
2X – Y = 2
2(7/4) – Y = 2 El 2 que multiplica X se iguala en fracciones con 1 debajo de el y se multiplica
(2/1) (7/4) – Y = 2
14/4 – Y = 2
-Y = 2 – 14/4
Para despejar 2 hacemos ahora productos cruzados ya que no multiplica X’s
Despejar 2 con 1 debajo de el y multiplicar

Hacemos lo mismo que al principio para sustituir la Y, eliminando X
[2X   – 5Y = -4] 1
[ 2X  –    Y = 2 ] -1
2X –   5Y = -4
-2X +     Y = -2
-4Y  = -6
Y = -6/-4  =  6/4  =  3/2  =  1.5. Ya tengo el valor Y que vale 1.5

Ahora solo resta agarrar la escuadra, e ir del lado AC derechos hasta llegar al Vértice B y trazar el punto del lado AC al opuesto Vértice C. Igual lo haremos con lado BC opuesto al Vértice A y el ortocentro debe quedar en el punto (1.5 , 1.5). Recuerda que las líneas deben medir 90°.

Ortocentro de un triangulo

Ortocentro de un triangulo

Entonces, juntando el Ortocentro, las Alturas y Puntos Medios con Circuncentro la grafica debe quedar exactamente así:

Ortocentro, Alturas y Circuncentro de un Triangulo

Ortocentro, Alturas y Circuncentro de un Triangulo

Categorías:Calculo
  1. nghdsghsdfg
    noviembre 10, 2009 a las 8:36 pm

    etytyty

  2. rafa
    noviembre 30, 2009 a las 11:47 pm

    es muy bueno

    • hgkifg
      octubre 22, 2011 a las 12:58 pm

      see

      • hgkifg
        octubre 22, 2011 a las 1:00 pm

        ayudenme a encontrar la bisectriz de los puntos a(7,2) b(-3,5) c(4,-2) es urgentisimo

  3. mary jo
    enero 9, 2010 a las 9:16 pm

    me encanto!!!
    esta super biien explicado
    pude resolver mi tarea (:
    grax!!

  4. sombie
    abril 21, 2010 a las 4:55 pm

    ps graxias por la explicacion saque 10 graxias y muy bien explicado

  5. sombie
    abril 21, 2010 a las 4:59 pm

    ps graxias por la explicacion saque 10 graxias y muy bien explicado buenoOOOOOOOOOO
    bhai

  6. erick
    septiembre 1, 2010 a las 7:01 pm

    hey amigo en verdad gracias me ayudo mucho dios te bendiga

  7. lupyta
    octubre 11, 2010 a las 11:58 pm

    huy k bien k exista algo asi esta super chido….graxias

  8. cidyx
    diciembre 19, 2010 a las 3:54 pm

    no me ayudo en nada

  9. febrero 17, 2011 a las 4:56 pm

    gracias me salvaron la vida

  10. febrero 17, 2011 a las 4:56 pm

    gracias ya no buscaba q haces

  11. CRUZ
    abril 21, 2011 a las 2:14 pm

    las coordenadas del ortocentro estan mal, no es (1.5,1.5), es (1.75,1.5)

    • teresita
      octubre 3, 2011 a las 10:14 pm

      nah!! es igual, es igual

    • fer
      octubre 15, 2012 a las 11:16 pm

      tienes razon y terezita claro que no es igual¡¡¡ =)

  12. asdfsadf
    mayo 7, 2011 a las 1:08 pm

    la altura no es la recta perpendicular que va de un vertice al lado opuesto? D:

  13. Christian
    septiembre 6, 2011 a las 10:35 pm

    Amigo lo que sacaste fueron las mediatrices y el circuncentro…… Altura y Ortocentro son otra cosa…..

  14. hoeperbeyakoolatronyko
    septiembre 20, 2011 a las 9:17 pm

    la neta si esta chido pero le falta un poco mas de explicacion

  15. teresita
    octubre 3, 2011 a las 10:07 pm

    por favor, sacame de una duda… a mi me enseñaron que la ecuacion de la recta se saca asi:
    m(X1-X) = Y1-Y ….
    ¿es lo mismo que Y-Y1 = m(X-X1) ?

  16. octubre 10, 2011 a las 8:14 pm

    uffff…muxsas gracias ….bien espicado….sto si me va a servir para my tarea de mate…GRACIAS!!!!!!
    :) ;)

  17. octubre 10, 2011 a las 8:23 pm

    uffff…GRACIAS ….me sirvio de mucho….:(

  18. Miguel
    octubre 20, 2011 a las 11:31 am

    esta chido

  19. fabiola
    octubre 20, 2011 a las 10:10 pm

    hola… diskulpa kisiera saver si me puedes ayudar a resolver este problema:
    A(-3,4) B (5,5) C (1, -5).. esos son los vertices necesito sakar todos los puntos notables:
    ***mediatrices-circuncentro.
    ***baricentro-mediana
    ***incentro.bisectrices
    ***ortocentro–alturas
    si pudieras ayudarme te lo agradeceria muchisimo !!!
    thu diras kmo puedo pagar . con tiempo aire o algo… PERO X FAZ AYUDAME !!!

    • fabiola
      octubre 20, 2011 a las 10:11 pm

      solo q si algo urgente !!! x fiz ayudame !!!

    • hgkifg
      octubre 22, 2011 a las 1:03 pm

      siiiiiiiiiiiiiiiiii igual a los mios pero los puntos son otrossssssssssss :/

  20. hgkifg
    octubre 22, 2011 a las 1:03 pm

    a(7,2) b(-3,5) c(4,-2) u.u

  21. hgkifg
    octubre 22, 2011 a las 1:05 pm

    u.u

  22. marifer
    enero 11, 2012 a las 12:03 am

    muy bien

  23. kira
    febrero 28, 2012 a las 5:35 pm

    quero saber como sacar la altura de un triangulo isoceles cuando solo te dan la medida de los lados exteriores mmmm para que sepan : la medida de los tres lados es 3 y la altura no se sabe

  24. febrero 28, 2012 a las 9:04 pm

    Excelente explicación!

  25. yurmi davila
    abril 1, 2012 a las 5:59 am

    Necesito la respuesta d est ejercicio porfa. Hallar la ecuacion de las alturas y su punto d intercepcion. Este punto se llama ortocentro y sus puntos son A(-2,1) B(4,7) C(6,-3) porfavor si

  26. Braandon
    abril 13, 2012 a las 11:58 pm

    Estan mal los signos de las ecuaciones… de TODAS… y confunde el circuncentro con el ortocentro

  27. Zarate
    abril 14, 2012 a las 4:03 am

    en si solo esta mal el calculo del ortocentro,en el que X = 1.75 y no 1.5 y en el que Y = 1.5

  28. 7268983
    mayo 17, 2012 a las 12:40 pm

    sos muy bueno viejo gracias por la explicacion

  29. Gastón Pérez León
    septiembre 9, 2012 a las 10:44 pm

    muy buen aporte en la u me dieron justo este ejercicio…esta bien claro todo. Gracias!

  30. maicol ortiz
    noviembre 7, 2012 a las 9:15 pm

    mil felicidades mi pana tu manera de enseñar
    es exelente
    :):):)

  31. Jersson
    diciembre 6, 2012 a las 3:34 pm

    Me ayudaste muchísimo mil gracias (Y)

  32. Yo
    marzo 26, 2013 a las 11:27 am

    TE Amo!!!

  33. junio 15, 2013 a las 6:23 pm

    me ayudo bn

  34. GUS
    agosto 1, 2013 a las 7:34 pm

    exelente

  35. gaaaww
    marzo 24, 2014 a las 11:03 am

    gracias justo es el ejercicio de mi tarea ^^ !!

  36. enriq
    abril 15, 2016 a las 10:49 am

    exelente muchas gracias

  1. No trackbacks yet.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: