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Un problema de razones de cambio relacionadas

A los que algún día se preguntaron: “¿Pero para qué carajo sirven las derivadas?”, aquí hay una importante aplicación de ellas: En los problemas en que intervienen razones de cambio respecto al tiempo de distintas variables que están relacionadas.

EJEMPLO:

Se bombea aire hacia el interior de un globo esférico, de modo que su volumen aumenta a razón de 100 centímetros cúbicos por segundo. ¿Con qué rapidez crece el radio del globo cuando el diámetro es de 50 cm?

Para solucionarlo:

1. Miramos las variables que intervienen. En éste caso, serían el volumen del globo y su radio, que cambian con respecto a un tiempo t.

2. Miramos la información que nos dan, en éste caso sería la razón a la que cambia el volumen respecto al tiempo:

3. Miramos las incógnitas, en éste caso, sería la razón con la que aumenta el radio del globo:

4. Hallamos una fórmula que relacione las variables, en éste problema, usaremos la fórmula del volumen de la esfera:

Ahora, procedemos a derivar implícitamente con respecto al tiempo.

Reemplazamos la información dada, y despejamos la derivada del radio con respecto al tiempo:

Así es entonces, cuando llegamos a la conclusión de que el radio del globo está creciendo a razón de 0,013 cm/sg.

Dudas? Algún día me posteo más problemas, cuando ya salga de exámenes… me tienen entre la espada y la pared hasta entonces.

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Categorías:Calculo, Derivadas
  1. leboreiro
    julio 18, 2010 en 12:16 pm

    hola amigo! soy estudiante de ing en sistemas recientemente me acaban de asignar un informe relacionado a la aplicacion de las derivadas en la ing en sistemas, buscando y googleando he encontrado mucha informacion pero muy poca relacionada a la ing en sistemas en especifico, como futuro ing se que llevare a cabo construccion intangibles de sistemas de calculo y automatizados, analizando un poco, como ingeniero se podrian elaborar sistemas donde 1 ordenador pueda llevar a cabo calculo de derivadas de segundo orden para medir y apreciar el comportamiento de digamos por ejemplo la temperatura de determinado proceso, este sistema ayuda al operador a tener una idea del grado de peligro y alarmarlo para poder tomar medidas de contencion de temperatura o presion (depende) y en su defecto para incrementarla si esta muy baja… podria evaluarse de esta manera las derivadas? tecnicamente el ordenador realizaria esta serie de calculos derivados por nosotros … que opina usted?

    esperando su mas pronta respuesta

  2. Mal humorado
    mayo 8, 2011 en 10:56 am

    Este marica si es que tiene mucho huevo, que hujueputas tiene que ver un malparido globo en ingenieria de sistemas, sea serio gran hijueputa

  3. taty
    julio 31, 2011 en 12:55 pm

    XFA NECESITO UN PROBLEMA DOND S APLIK LA DERIVADA EN UNA SITUACION DE LA VIDA REAL (OSEA D LA VIDA D AHORA OSEA Q SA REAL) PLAICADO AHORA.!!!!!

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