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Un problema de razones de cambio relacionadas

A los que algún día se preguntaron: “¿Pero para qué carajo sirven las derivadas?”, aquí hay una importante aplicación de ellas: En los problemas en que intervienen razones de cambio respecto al tiempo de distintas variables que están relacionadas.

EJEMPLO:

Se bombea aire hacia el interior de un globo esférico, de modo que su volumen aumenta a razón de 100 centímetros cúbicos por segundo. ¿Con qué rapidez crece el radio del globo cuando el diámetro es de 50 cm?

Para solucionarlo:

1. Miramos las variables que intervienen. En éste caso, serían el volumen del globo y su radio, que cambian con respecto a un tiempo t.

2. Miramos la información que nos dan, en éste caso sería la razón a la que cambia el volumen respecto al tiempo:

3. Miramos las incógnitas, en éste caso, sería la razón con la que aumenta el radio del globo:

4. Hallamos una fórmula que relacione las variables, en éste problema, usaremos la fórmula del volumen de la esfera:

Ahora, procedemos a derivar implícitamente con respecto al tiempo.

Reemplazamos la información dada, y despejamos la derivada del radio con respecto al tiempo:

Así es entonces, cuando llegamos a la conclusión de que el radio del globo está creciendo a razón de 0,013 cm/sg.

Dudas? Algún día me posteo más problemas, cuando ya salga de exámenes… me tienen entre la espada y la pared hasta entonces.

Categorías:Calculo, Derivadas
  1. leboreiro
    julio 18, 2010 a las 12:16 pm

    hola amigo! soy estudiante de ing en sistemas recientemente me acaban de asignar un informe relacionado a la aplicacion de las derivadas en la ing en sistemas, buscando y googleando he encontrado mucha informacion pero muy poca relacionada a la ing en sistemas en especifico, como futuro ing se que llevare a cabo construccion intangibles de sistemas de calculo y automatizados, analizando un poco, como ingeniero se podrian elaborar sistemas donde 1 ordenador pueda llevar a cabo calculo de derivadas de segundo orden para medir y apreciar el comportamiento de digamos por ejemplo la temperatura de determinado proceso, este sistema ayuda al operador a tener una idea del grado de peligro y alarmarlo para poder tomar medidas de contencion de temperatura o presion (depende) y en su defecto para incrementarla si esta muy baja… podria evaluarse de esta manera las derivadas? tecnicamente el ordenador realizaria esta serie de calculos derivados por nosotros … que opina usted?

    esperando su mas pronta respuesta

  2. Mal humorado
    mayo 8, 2011 a las 10:56 am

    Este marica si es que tiene mucho huevo, que hujueputas tiene que ver un malparido globo en ingenieria de sistemas, sea serio gran hijueputa

  3. taty
    julio 31, 2011 a las 12:55 pm

    XFA NECESITO UN PROBLEMA DOND S APLIK LA DERIVADA EN UNA SITUACION DE LA VIDA REAL (OSEA D LA VIDA D AHORA OSEA Q SA REAL) PLAICADO AHORA.!!!!!

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